Если мысленно вырезать вокруг какой-нибудь точки тела элемент в виде бесконечного малого кубика, то по его граням в общем случае будут действовать напряжения, представленные на рис. 3.1.

Совокупность нормальных и касательных напряжений, действующих по всем площадкам (сечениям), содержащим какую-либо точку называют напряженным состоянием тела в данной точке

Рис. 3 . 1

Таким образом, на гранях элементарного параллелепипеда, выделенного в окрестности точки нагруженного тела, действуют девять компонентов напряжения. Запишем их в виде следующей квадратной матрицы:

где в первой, второй и третьей строках расположены составляющие напряжений соответственно на площадках, перпендикулярных к осям , , . Эта совокупность напряжений называется тензором напряжений .

Закон парности касательных напряжений. Главные площадки и главные напряжения.

Составим уравнение моментов всех сил, приложенных к элементарному параллелепипеду относительно оси . (рис. 3.1.).

Силы, параллельные этой оси и пересекающие ее, в уравнение не войдут. Моменты сил на двух гранях, перпендикулярных оси , уравновешиваются, равно как и моменты сил на верхней и нижней гранях элемента. Таким образом, получаем:

Отсюда следует, что .

Аналогично из двух других уравнений находим:

Итак, имеем равенства

называемые законом парности касательных напряжений

Закон парности касательных напряжений – касательные напряжения на двух любых, но взаимно перпендикулярных площадках, направленные перпендикулярно к линии пересечения площадок, равны по величине. При этом они стремятся повернуть элемент в разные стороны.

При изменении ориентации граней выделенного элемента меняются также действующие на его гранях напряжения. Можно провести такие площадки, на которых касательные напряжения равны нулю. Площадки, на которых касательные напряжения равны нулю, называются главными площадками , а нормальные напряжения на этих площадках – главными напряжениями .

Можно доказать, что в каждой точке напряженного тела существует три главные взаимно перпендикулярные площадки.

Главные напряжения обозначают , , . При этом индексы следует расставлять так, чтобы выполнялось неравенство

Если отличны от нуля все три главных напряжения, то напряженное состояние называется трехосным или объемным (рис.3.2, а).

Если равно нулю одно из главных напряжения, то напряженное состояние называется двухосным или плоским (рис.3.2, б).

Если равно нулю два главных напряжения, то напряженное состояние называется одноосным или линейны м (рис.3.2, в).

Рис. 3 . 2

Плоское напряженное состояние.

При исследовании напряженного состояния элементов конструкций наиболее часто приходится иметь дело с плоским напряженным состоянием. Оно встречается при кручении, изгибе и сложном сопротивлении. Поэтому на нем мы остановимся несколько подробнее.

Рассмотрим элемент, грани которого являются главными площадками.

Рис. 3 . 3

По ним действуют положительные напряжения и , а третье главное напряжение (направление перпендикулярно к плоскости чертежа).

Проведем сечение I – I, которое определит площадку (), характеризуемую положительным углом . Напряжения и по этой площадке будут определяться по формулам:

(3.3)

Сжимающие главные напряжения подставляют в эти формулы со знаком «минус», а угол отсчитывают от алгебраически большего главного напряжения.

Проведем сечение II – II, которое определит площадку , перпендикулярную площадке . Нормаль к ней образует с направлением угол

Подставив в формулы (3.2) и (3.3) значения угла , будем иметь

. (3.5)

Совокупность формул (3.2) - (3.5) дает возможность находить напряжения по любым взаимно перпендикулярным наклонным площадкам, если известны главные напряжения.

Складывая равенства (3.2) и (3.4), обнаруживаем, что

, (3.6)

т. е. сумма нормальных напряжений по двум взаимно перпендикулярным площадкам не зависит от угла наклона этих площадок и равна сумме главных напряжений.

Из формул (3.3) и (3.5) видим, что касательные напряжения достигают наибольшей величины при , т. е. по площадкам, наклоненным к главным площадкам под углом , причем

. (3.7)

Сравнивая формулы (3.3) и (3.5), находим, что

Это равенство выражает закон парности касательных напряжений.

Проведем теперь еще два сечения (рис. 3.3): Сечение ІІІ – ІІІ, параллельное І – І, и сечение ІV – ІV, параллельное ІІ – ІІ. Элемент , выделенный четырьмя сечениями из элемента (рис. 3.4, а), будет иметь вид, показанный на рис 3.4, б. Оба элемента определяют одно и то же напряженное состояние, но элемент представляет его главными напряжениями, а элемент - напряжениями на наклонных площадках.

Рис. 3 . 4

В теории напряженного состояния можно разграничить две основные задачи.

Прямая задача . В точке известны положения главных площадок и соответствующие им главные напряжения; требуется найти нормальные и касательные напряжения по площадкам, наклоненным под заданным углом к главным.

Обратная задача . В точке известны нормальные и касательные напряжения, действующие в двух взаимно перпендикулярных площадках; требуется найти главные направления и главные напряжения. Обе задачи можно решать как аналитически, так и графически.

Прямая задача в плоском напряженном состоянии. Круг напряжений (круг Мора).

Аналитическое решение прямой задачи дается формулами (3.2) – (3.5).

Проанализируем напряженное состояние, воспользовавшись простым графическим построением. Для этого введем в рассмотрение геометрическую плоскость и отнесем ее к прямоугольным координатным осям и . Порядок расчета опишем на примере напряженного состояния, изображенного на рис. 3.5, а.

Выбрав для напряжений некоторый масштаб, откладываем на оси абсцисс (рис 3.5, б) отрезки

На как на диаметре строим окружность с центром в точке . Построенный круг носит название круга напряжений или круга Мора .

Рис. 3 . 5

Координаты точек круга соответствуют нормальным и касательным напряжениям на различных площадках. Так, для определения напряжения на площадке, проведенной под углом (рис. 3.5, а) из центра круга (рис 3.5, б) проводим луч под углом до пересечения с окружностью в точке (положительные углы откладываем против часовой стрелки). Абсцисса точки (отрезок ) равна нормальному напряжению , а ордината ее (отрезок ) – касательному напряжению .

Напряжение на площадке, перпендикулярной к рассмотренной, найдем, проведя луч под углом и получив в пересечении с окружностью точку . Очевидно, ордината точки соответствует касательному напряжению , а абсцисса точки - нормальному напряжению .

Проведя из точки линию, параллельную (в нашем случае горизонталь), до пересечения с кругом, найдем полюс – точку . Линия, соединяющая полюс с любой точкой круга, параллельна направлению нормального напряжения на площадке, которой эта точка соответствует. Так, например, линия параллельна главному напряжению . Очевидно, что линия параллельна направлению главного напряжения .

Обратная задача в плоском напряженном состоянии.

При практических расчетах обычно определяют нормальные и касательные напряжения на некоторых двух взаимно перпендикулярных площадках. Пусть, например, известны напряжения , , , (рис. 3.6, а). По этим данным требуется определить величины главных напряжений и положение главных площадок.

Сначала решим эту задачу графически. Примем, что >, а >.

В геометрической плоскости в системе координат нанесем точку , с координатами , и точку с координатами ,(рис. 3.6, б). Соединив точки и , находим центр круга – точку - и радиусом проводим окружность. Абсциссы точек ее пересечения с осью - отрезки и - дадут соответственно величины главных напряжений и .

Для определения положения главных площадок найдем полюс и воспользуемся его свойством. Проведем из точки линию параллельно линии действия напряжения , т. е. горизонталь. Точка пересечения этой линии с окружностью и является полюсом. Соединяя полюс с точками и , получим направления главных напряжений. Главные площадки перпендикулярны к найденным направлениям главных напряжений.

Рис. 3 . 6

Используем построенный круг для получения аналитических выражений главных напряжений и :

(3.9)

(3.10)

Формула (3.10) определяет единственное значение угла , на который нужно повернуть нормаль , чтобы получить направление алгебраически большего главного напряжения. Отрицательному значению соответствует поворот по часовой стрелке.

Если одно из главных напряжений окажется отрицательным, а другое положительным, то их следует обозначать и . Если оба главных напряжения окажутся отрицательными, то их следует обозначать и .

Лекция 4 . Теории прочности . Чистый сдвиг{jcomments on}

Теории прочности.

Важнейшей задачей инженерного расчета является оценка прочности элемента конструкции по известному напряженному состоянию. Для простых видов деформаций, в частности для одноосных напряженных состояний, определение значений опасных напряжений не представляет особых трудностей. Вспомним, что под опасными напряжениями понимают напряжения, соответствующие началу разрушения (при хрупком состоянии материала) или появлению остаточных деформаций (в случае пластического состояния материала):

По опасным напряжениям устанавливают допускаемые напряжения, обеспечивающие определенный запас против наступления предельного состояния.

При сложном напряженном состоянии, как показывают опыты, опасное состояние может иметь место при различных значениях главных напряжений , , в зависимости от соотношений между ними. В этом случае вводят гипотезу о преимущественном влиянии на прочность материала того или иного фактора. Предельное значение фактора, определяющего прочность, находят на основании простых опытов (на растяжение, сжатие, кручение).

Выбранная указанным образом гипотеза называется механической теорией прочности .

Рассмотрим классические теории прочности.

Напряженное и деформированное состояния упругого тела. Связь между напряжениями и деформациями

Понятие о напряжении тела в данной точке. Нормальные и касательные напряжения

Внутренние силовые факторы, возникающие при нагружении упругого тела, характеризуют состояние того или иного сечения тела, но не дают ответа на вопрос о том, какая именно точка поперечного сечения является наиболее нагруженной, или, как говорят, опасной точкой . Поэтому необходимо ввести в рассмотрение какую-то дополнительную величину, характеризующую состояние тела в данной точке.

Если тело, к которому приложены внешние силы, находится в равновесии, то в любом его сечении возникают внутренние силы сопротивления. Обозначим через внутреннее усилие, действующее на элементарную площадку , а нормаль к этой площадке через тогда величина

(3.1)

называется полным напряжением.

В общем случае полное напряжение не совпадает по направлению с нормалью к элементарной площадке, поэтому удобнее оперировать его составляющими вдоль координатных осей -

Если внешняя нормаль совпадает с какой-либо координатной осью, например, с осью Х , то составляющие напряжения примут вид при этом составляющая оказывается перпендикулярной сечению и называется нормальным напряжением , а составляющие будут лежать в плоскости сечения и называются касательными напряжениями .

Чтобы легко различать нормальные и касательные напряжения обычно применяют другие обозначения: - нормальное напряжение, - касательное.

Выделим из тела, находящегося под действием внешних сил, бесконечно малый параллелепипед, грани которого параллельны координатным плоскостям, а ребра имеют длину . На каждой грани такого элементарного параллелепипеда действуют по три составляющие напряжения, параллельные координатным осям. Всего на шести гранях получим 18 составляющих напряжений.

Нормальные напряжения обозначаются в виде , где индекс обозначает нормаль к соответствующей грани (т.е. может принимать значения ). Касательные напряжения имеют вид ; здесь первый индекс соответствует нормали к той площадке, на которой действует данное касательное напряжение, а второй указывает ось, параллельно которой это напряжение направлено (рис.3.1).

Рис.3.1. Нормальные и касательные напряжения

Для этих напряжений принято следующее правило знаков . Нормальное напряжение считается положительным при растяжении, или, что то же самое, когда оно совпадает с направлением внешней нормали к площадке, на которой действует. Касательное напряжение считается положительным, если на площадке, нормаль к которой совпадает с направлением параллельной ей координатной оси, оно направлено в сторону соответствующей этому напряжению положительной координатной оси.

Составляющие напряжений являются функциями трех координат. Например, нормальное напряжение в точке с координатами можно обозначать

В точке, которая отстоит от рассматриваемой на бесконечно малом расстоянии, напряжение с точностью до бесконечно малых первого порядка можно разложить в ряд Тейлора:

Для площадок, которые параллельны плоскости изменяется только координата х , а приращения Поэтому на грани параллелепипеда, совпадающей с плоскостью нормальное напряжение будет , а на параллельной грани, отстоящей на бесконечно малом расстоянии , - Напряжения на остальных параллельных гранях параллелепипеда связаны аналогичным образом. Следовательно, из 18 составляющих напряжения неизвестными являются только девять.

В теории упругости доказывается закон парности касательных напряжений , согласно которому по двум взаимно перпендикулярным площадкам составляющие касательных напряжений, перпендикулярные линии пересечения этих площадок, равны друг другу:

Можно показать, что напряжения (3.3) не просто характеризуют напряженное состояние тела в данной точке, но определяют его однозначно. Совокупность этих напряжений образует симметричную матрицу, которая называется тензором напряжений :

(3.4)

Так как в каждой точке будет свой тензор напряжений, то в теле имеется поле тензоров напряжений.

При умножении тензора на скалярную величину получится новый тензор, все компоненты которого в раз больше компонентов исходного тензора.

Напряжением называется интенсивность действия внутренних сил в точке тела, то есть, напряжение - это внутреннее усилие, приходящееся на единицу площади. По своей природе напряжение - это , возникающая на внутренних поверхностях соприкасания частей тела. Напряжение, так же как и интенсивность внешней поверхностной нагрузки, выражается в единицах силы, отнесенных к единице площади:Па=Н/м 2 (МПа = 10 6 Н/м 2 , кгс/см 2 =98 066 Па ≈ 10 5 Па, тс/м 2 и т. д.).

Выделим небольшую площадку ∆A . Внутреннее усилие, действующее на нее, обозначим ∆\vec{R}. Полное среднее напряжение на этой площадке \vec{р} = ∆\vec{R}/∆A . Найдем предел этого отношения при ∆A \to 0 . Это и будет полным напряжение на данной площадке (точке) тела.

\textstyle \vec{p} = \lim_{\Delta A \to 0} {\Delta\vec{R}\over \Delta A}

Полное напряжение \vec p, как и равнодействующая внутренних сил, приложенных на элементарной площадке, является векторной величиной и может быть разложено на две составляющие: перпендикулярное к рассматриваемой площадке – нормальное напряжение σ n и касательное к площадке – касательное напряжение \tau_n. Здесь n – нормаль к выделенной площадке .

Касательное напряжение, в свою очередь, может быть разложено на две составляющие, параллельные координатным осям x, y , связанным с поперечным сечением – \tau_{nx}, \tau_{ny}. В названии касательного напряжения первый индекс указывает нормаль к площадке,второй индекс — направление касательного напряжения.

$$\vec{p} = \left[\matrix{\sigma _n \\ \tau _{nx} \\ \tau _{nx}} \right]$$

Отметим, что в дальнейшем будем иметь дело главным образом не с полным напряжением \vec p , а с его составляющими σ_x,\tau _{xy}, \tau _{xz} . В общем случае на площадке могут возникать два вида напряжений: нормальное σ и касательное τ .

Тензор напряжений

При анализе напряжений в окрестности рассматриваемой точки выделяется бесконечно малый объемный элемент (параллелепипед со сторонами dx, dy, dz ), по каждой грани которого действуют, в общем случае, три напряжения, например, для грани, перпендикулярной оси x (площадка x) – σ_x,\tau _{xy}, \tau _{xz}

Компоненты напряжений по трем перпендикулярным граням элемента образуют систему напряжений, описываемую специальной матрицей – тензором напряжений

$$ T _\sigma = \left[\matrix{
\sigma _x & \tau _{yx} & \tau _{zx} \\
\tau _{xy} & \sigma _y & \tau _{zy} \\ \tau _{xz} & \tau _{yz} & \sigma _z
}\right]$$

Здесь первый столбец представляет компоненты напряжений на площадках,
нормальных к оси x, второй и третий – к оси y и z соответственно.

При повороте осей координат, совпадающих с нормалями к граням выделенного
элемента, компоненты напряжений изменяются. Вращая выделенный элемент вокруг осей координат, можно найти такое положение элемента, при котором все касательные напряжения на гранях элемента равны нулю.

Площадка, на которой касательные напряжения равны нулю, называется главной площадкой .

Нормальное напряжение на главной площадке называется главным напряжением

Нормаль к главной площадке называется главной осью напряжений .

В каждой точке можно провести три взаимно-перпендикулярных главных площадки.

При повороте осей координат изменяются компоненты напряжений, но не меняется напряженно-деформированное состояние тела (НДС).

Внутренние усилия есть результат приведения к центру поперечного сечения внутренних сил, приложенных к элементарным площадкам. Напряжения – мера, характеризующая распределение внутренних сил по сечению.

Предположим, что нам известно напряжение в каждой элементарной площадке. Тогда можно записать:

Продольное усилие на площадке dA : dN = σ z dA
Поперечная сила вдоль оси х: dQ x = \tau {zx} dA
Поперечная сила вдоль оси y: dQ y = \tau {zy} dA
Элементарные моменты вокруг осей x,y,z: $$\begin{array}{lcr} dM _x = σ _z dA \cdot y \\ dM _y = σ _z dA \cdot x \\ dM _z = dM _k = \tau _{zy} dA \cdot x - \tau _{zx} dA \cdot y \end{array}$$

Выполнив интегрирование по площади поперечного сечения получим:

То есть, каждое внутренне усилие есть суммарный результат действия напряжений по всему поперечному сечению тела.

Подставим выражения закона Гука в уравнение совместности деформаций:

Решая данное уравнение совместно с уравнениями равновесия, найдем неизвестные внутренние усилия в стержнях.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ

Напряжения в точке. Главные напряжения и главные площадки.

Напряжения являются результатом взаимодействия частиц тела при его нагружении. Внешние сипы стремятся изменить взаимное расположение частиц, а возникающие при этом напряжения препятствуют их смещению. Расположенная в данной точке частица по-разному взаимодействует с каждой из соседних частиц. Поэтому в общем случае в одной и той же точке напряжения различны по различным направлениям.

В сложных случаях действия сил на брус (в отличие от растяжения или сжатия) вопрос об определении наибольших напряжений, а также положения площадок, на которых они дей­ствуют, усложняется. Для решения этого вопроса приходится специально исследовать за­коны изменения напряжений при изменении положения площадок, проходящих через данную точку. Возникает проблема исследования напряженного состояния в точке деформируемого тела.

Напряженное состояние в точке - совокупность напряжений (нормальных и касательных), действующих по всевозможным площадкам (сечениям), проведенным через эту точку.

Изучение напряженного состояния дает возможность анализировать прочность материала для любого случая нагружения тела.

Исследуя напряженное состояние в данной точке деформируемого тела, в ее окрестно­сти выделяют бесконечно малый (элемен­тарный) параллелепипед, ребра которого направлены вдоль соответствующих координатных осей. При действии на тело внешних сил на каждой из граней элемен­тарного параллелепипеда возникают на­пряжения, которые представляют нормаль­ными и касательными напряжениями проекциями полных напряжений на коор­динатные оси (рис. 5.1).

Нормальные напряжения обозначают буквой σ с индексом, соответствующим нормали к площадке, на которой они действуют. Касательные напряже­ния обозначают буквой τ с двумя индексами: первый соответствует нормали к площадке, а второй - направлению самого напряжения (или наоборот).

Таким образом, на гранях элементарного параллелепипеда, выделенного в окрестности точки нагруженного тела, действует девять компонентов напря­жения. Их можно записать в виде следующей квадратной матрицы:

σ х τ ху τ х z

Т σ = τ у x σ у τ у z

τ zx τ z у σ z

Эта совокупность напряжений называется тензором напряжений .

Тензор напряжений полностью описывает напряженное состояние в точке, то есть если известен тензор напряжений в данной точке, то можно найти напряжения на любой из площадок, проходящих через данную точку (заметим, что тензор представляет собой особый математический объект, компоненты которого при повороте координатных осей подчиняются специфическим правилам тензорного преобразования, при этом тензорное исчисление составляет отдельный раздел высшей математики и здесь не рассматривается).

Используем принятое правило знаков для напряжений в общем виде. Нормальное напряжение σ считается положительным, если совпадает по направлению с внешней нормалью к площадке, касательные напряжения τ считаются положительными, если вектор касательных напряжений следует поворачивать против хода часовой стрелки до совпадения с внешней нормалью (рис. 5.2). Отрицательными считаются напряжения обратных направлений.

Не все девять компонентов напряжений, действующих на гранях параллеле­пипеда, независимые (несвязанные друг с другом). В этом легко убедится, составив уравнения равновесия элемента в отношении его вращений относи­тельно координатных осей. Записав уравнения моментов от сил, действую­щих по граням параллелепипеда, и пренебрегая их изменением при переходе от одной грани к другой ей параллельной, получим, что

τ ху = τ ух, τ х z = τ z х, τ yz = τ zy (5.1)

Данные равенства называют законом парности касательных на­пряжений.

Закон парности касательных напряжений: по двум взаимно перпендикуляр­ным площадкам касательные напряжения, перпендикулярные линии пересе­чения этих площадок, равны между собой.

Закон парности касательных напряжений устанавливает зависимость между величинами и направлениями пар касательных напряжений, действующих по взаимно перпендикулярным площадкам элементарного параллелепипеда.

В окрестности исследуемой точки можно выделить бесконечное множество взаимно перпендикулярных площадок. В том числе можно найти и такие площадки, на которых действуют только нормальные напряжения, а каса­тельные напряжения равны нулю. Такие площадки называют главными (более точно – площадки главных напряжений ).

Рассмотрим две взаимно перпендикулярные площадки с касательными напряжениями τ ху и τ ух. Согласно закону парности касательных напряжений эти напряжения равны. Поэтому, если площадку с напряжением τ ху поворачивать до совпадения с площадкой с напряжением τ ух, то обязательно найдется такое положение площадки, когда касательное напряжение τ = 0.

Главные площадки - три взаимно перпендикулярные площадки в окрестно­сти исследуемой точки, на которых касательные напряжения равны нулю.

Главные напряжения - нормальные напряжения, действующие по главным площадкам (то есть площадкам, на которых отсутствуют касательные напряжения).

Главные напряжения обозначаются σ 1 , σ 2 , σ 3 , причем σ 1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 .

На главных площадках нормальные напряжения (главные напряжения) принимают свои экстремальные значения – максимум σ 1 , минимум σ 3 .

Тензор напряжений, записанный через главные напряжения, принимает наиболее простой вид:

Т σ = 0 σ 2 0

В зависимости от того, сколько главных напряжений действует в окрестности данной точки, различают три вида напряженного состояния:

1) линейное (одноосное) - если одно главное напряжение отлично от нуля, а два других равны нулю (σ 1 ≠0, σ 2 = 0, σ 3 = 0);

2) плоское (двухосное) - если два главных напряжения отличны от нуля, а одно равно нулю (σ 1 ≠0, σ 2 ≠ 0, σ 3 = 0);

3) объемное (трехосное) - если все три главных напряжения отличны от нуля (σ 1 ≠0, σ 2 ≠ 0, σ 3 ≠ 0).

Линейное напряженное состояние

Линейным или одноосным называется напряженное состояние, при котором два из трех главных напряжений равны нулю (рис. 5.3, а).

Элементы, находящиеся в линейном напряженном состоянии, можно выделить в окрест­ности некоторых точек стержня, работающего на изгиб, иногда - при сложном нагружении, но главным образом на растяжение или сжатие.

Рассмотрим стержень, испытывающий простое растяжение (рис.5.4). Нормальные напряжения в его по­перечных сечениях определяются следующим образом:

Касательные напряжения здесь равны нулю. Следовательно, эти сечения являются главными площадками (σ 1 = σ 0).

Перейдем теперь к определению напряжений на неглавных, наклонных площадках. Выделим площадку, нормаль к которой составляет с осью стержня угол α (рис. 5.5). Проведенную таким образом наклонную площадку будем обозначать α -площадкой, а действующие на ней полные, нор­мальные и касательные напряжения - р α , σ α, τ α соответственно. При этом площадь α -площадки (А α)связана с площадью поперечного сечения стержня (А 0 )следующим образом: А α = А 0 /cos α .

Для определения напряжений воспользуемся методом мысленных сечений. Считая, что наклонная площадка рассекла стержень на две части, отбросим одну из них (верхнюю) и рассмотрим равновесие оставшейся (нижней). Осевая сила (N ) в сечении представляет собой равнодействующую полных на­пряжений р α . Следовательно,

N = р α · А α .

р α = = cos α = σ 0 cos α.

Нормальные и касательные напряжения определим, проецируя полное на­пряжение на нормаль и плоскость α -площадки соответственно:

σ α = р α · cos α;

τ α = р α · sin α,

или, учитывая, что р 0 = σ 0 cos α;

σ α = σ 0 cos 2 α;

τ α = 0,5σ 0 sin 2α .

Из анализа формул видно, что:

1) На площадках, перпендикулярных оси, касательные напряжения равны нулю (такие площадки называются главными , а действующие на них нормальные напряжения – главными нормальными напряжениями ), т.е. при α = 0 в поперечных сечениях стержня τ α = 0, σ α = σ 0 (σ 1 = σ 0 , σ 2 = 0, σ 3 = 0);

2) На площадках, параллельных оси, никаких напряжений нет, поэтому это также главная площадка, т.е. при α = π / 2 в поперечных сечениях стержня τ α = 0, σ α = 0;

3) Наибольшие нормальные напряжения действуют в поперечных сечениях, а наибольшие касательные – на площадках, наклоненных к ним под углом 45°, т.е. при α = ± π / 4 в поперечных сечениях стержня возникают максимальные касательные напряжения τ α = τ max = σ 0 / 2 (нормальные напряжения σ α = σ 0 / 2).

Напряжения на наклонных площадках при плоском напряженном состоянии

Плоским или двухосным называется напряженное состояние, при котором одно из трех главных напряжений равно нулю (рис. 5.3, б).

Плоское (двухосное) напряженное состояние встречается при кручении, изгибе и сложном сопротивлении и является одним из наиболее распространенных видов напряженного со­стояния.

Определим напряжения на наклонных пло­щадках при плоском напряженном состоя­нии. Рассмотрим элементарный параллеле­пипед, грани которого являются главными площадками (рис. 5.6). По ним действуют положи­тельные напряжения σ 1 и σ 2 , а третье глав­ное напряжение σ 3 = 0.

Проведем сечение, нормаль к которому по­вернута на угол α от большего из двух глав­ных напряжений (σ 1) против часовой стрел­ки (положительное направление α ). Напря­жения σ α и τ α на этой площадке будут вызываться как действием σ 1 . так и действием σ 2 .

Запишем правила знаков . Будем считать положительными следующие направления напряжений и углов: нормальные напряжения σ - растягивающие: касательные напряжения τ - вращающие элемент по часовой стрелке: угол α - против часовой стрелки от наибольшего из главных напряжений (α < 45°).

Плоское напряженное состояние может быть представле­но как наложение (суперпозиция) двух взаимноперпендикулярных (ортогональных) одноосных напряженных состояний (рис. 5.7). При этом:

σ α = σ α ΄ + σ α ΄΄,

τ α = τ α ΄ + τ α ΄΄,

где σ α ΄, τ α ΄-напряжения, вызванные действием σ 1 ;

σ α ΄΄, τ α ΄΄ - напряжения, вызванные действием σ 2 .

Напряжения при одноосном напряженном состоянии (от действия Ci) связаны между собой как

σ α ΄ = σ 1 cos 2 α;

τ α ΄ = 0,5 σ 1 sin 2α .

Напряжения σ α ΄΄, τ α ΄΄, вызванные действием σ 2 , можно найти аналогично, но при этом необходимо учесть, что вместо угла α в формулы необходимо под­ставить угол β = - (90°- α ) - угол между α -площадкой и напряжением σ 2 .Отсюда получим

σ α ΄΄ = σ 2 ∙ cos 2 [- (90°- α )] → σ α ΄΄ = σ 2 sin 2 α ;

τ α ΄΄ = 0,5 σ 2 sin 2[- (90°- α )] → τ α ΄΄ = - 0,5 σ 2 sin2 α ;

Окончательно можем записать

σ α = σ 1 cos 2 α + σ 2 sin 2 α = + cos2α ; (5.2)

τ α = 0,5 σ 1 sin 2α - 0,5 σ 2 sin2 α = sin2α . (5.3)

Зная компоненты напряжений в любой точке пластинки в условиях плоского напряженного состояния или плоской деформации, можно найти из уравнений статики напряжения на любой наклонной по отношению к осям х и у плоскости (площадке), проходящей через эту точку перпендикулярно пластинке. Обозначим через Р некоторую точку в напряженной пластинке и допустим, что компоненты напряжения известны (рис. 12). На малом расстоянии от Р проведем плоскость параллельную оси так, чтобы эта плоскость вместе с координатными плоскостями вырезала из пластинки очень малую треугольную призму Поскольку напряжения изменяются по объему тела непрерывно, то при уменьшении размеров вырезанного элемента напряжение, действующее на площадке будет стремиться к напряжению на параллельной площадке, проходящей через точку Р.

При рассмотрении условий равновесия малой треугольной призмы объемными силами можно пренебречь как величинами высшего порядка малости. Подобным образом, если вырезанный элемент очень мал, можно пренебречь изменениями напряжений по граням и предположить, что напряжения распределены равномерно. Тогда силы, действующие на треугольную призму, можно определить путем умножения компонент напряжений на площади граней. Пусть - направление нормали к плоскости а косинусы углов между нормалью и осями х и у обозначаются следующим образом:

Тогда, если через А обозначить площадь грани элемента, то площади двух других граней будут .

Если обозначить через X и компоненты напряжений, действующих на грани то условия равновесия призматического элемента приводят к следующим соотношениям:

Таким образом, компоненты напряжений на любой площади, определяемой направляющими косинусами и можно легко найти из соотношений (12), если известны три компоненты напряжения в точке Р.

Обозначим через а угол между нормалью к площадке и осью х, так что тогда из соотношений (12) для нормальной и касательной компоненты напряжений на площадке получим формулы:

Очевидно, угол можно выбрать таким образом, чтобы касательное напряжение на площадке стало равным нулю. Для этого случая получаем

Из этого уравнения можно найти два взаимно перпендикулярных направления, для которых касательные напряжения на соответствующих площадках равны нулю. Эти направления называются главными, а соответствующие нормальные напряжения - главными нормальными напряжениями.

Если за главные направления принять направления осей х и у, то компонента равна нулю и формулы (13) принимают более простой вид

Изменение компонент напряжений а и в зависимости от угла а можно легко представить графически в виде диаграммы в координатах а и Каждой ориентации площадки соответствует точка на этой диаграмме, координаты которой представляют собой значения напряжений действующих на этой площадке. Такая диаграмма представлена на рис. 13. Для площадок, перпендикулярных к главным направлениям, мы получаем точки А и В с абсциссами соответственно. Теперь можно

доказать, что компоненты напряжения для любой площадки определяемой углом а (рис. 12), будут представляться координатами некоторой точки на окружности, для которой отрезок А В является диаметром. Чтобы найти эту точку, достаточно отмерить от точки А в том же направлении, в каком измеряется угол а на рис. 12, дугу, отвечающую углу . Для координат построенной таким образом точки D из рис. 13 получим

Сравнение с формулами (13) показывает, что координаты точки D дают численные значения компонент напряжения на площадке определяемой углом а. Чтобы привести в соответствие знак касательной компоненты, примем, что положительные значения откладываются вверх (рис. 13, а), и будем считать касательные напряжения положительными, когда они дают момент, действующий по направлению часовой стрелки, как это имеет место на гранях элемента (рис. 13, б). Касательные напряжения противоположного направления, например действующие на гранях элемента, считаются отрицательными.

Будем менять ориентацию площадки вращая ее вокруг оси, перпендикулярной плоскости (рис. 12) по направлению часовой стрелки так, что угол а будет изменяться от 0 до при этом точка D на рис. 13 будет перемещаться от А к В. Таким образом, нижняя половина круга определяет изменение напряжений для всех значений а в этих пределах. В свою очередь верхняя часть круга дает напряжения для интервала

Продолжая радиус до точки (рис. 13), т. е. беря угол равным вместо , получаем напряжения на площадке, перпендикулярной площадке (рис. 12). Отсюда видно, что касательные напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках численно друг другу равны, как это и было доказано ранее. Что касается нормальных напряжений, то мы видим из

рисунка, что т. е. сумма нормальных напряжений, действующих на двух взаимно перпендикулярных площадках, при изменении угла а остается постоянной.

Максимальное касательное напряжение ттах дается на диаграмме (рис. 13) максимальной ординатой окружности, т. е. равно радиусу окружности. Отсюда

Оно действует на площадке, для которой т. е. на площадке, нормаль к которой делит пополам угол между двумя главными направлениями.

Соответствующая диаграмма может быть построена и для случая, когда одно или оба главных напряжения отрицательны, т. е. для случая сжатия. Нужно только величину сжимающего напряжения откладывать в сторону отрицательных абсцисс. На рис. 14, а изображена диаграмма для случая, когда оба главных напряжения отрицательны, на рис. 14, б построена диаграмма для случая чистого сдвига.

Из рис. 13 и 14 видно, что напряжение в любой точке можно разложить на две части. Одна из них представляет собой двухосное растяжение (или сжатие), две компоненты которого равны между собой и по величине определяются абсциссой центра круга Мора.

Другая часть представляет собой чистый сдвиг с касательным напряжением, величина которого дается радиусом круга. При наложении нескольких плоских напряженных состояний равномерные растяжения (или сжатия) можно складывать друг с другом алгебраически. При наложении состояний чистого сдвига нужно учитывать направления плоскостей, на которые действуют соответствующие касательные напряжения. Можно показать, что при наложении друг на друга двух напряженных состояний чистого сдвига, для которых плоскости максимального касательного напряжения находятся под углом друг к другу, получающаяся в результате система сведется к другому случаю чистого сдвига. Например, рис. 15 показывает как определять напряжение, производимое двумя состояниями чистого сдвига с величинами касательных напряжений и на площадке, положение которой определяется углом Первое из этих состояний относится к плоскостям (рис. 15, а), а второе - к плоскостям, наклоненным к плоскостям